Таня Ларина права: РАЗНЫЙ и РАЗЛИЧНЫЙ не синонимы, а паронимы, то есть слова, схожие по звучанию и произношению, но частично или полностью отличающиеся по смыслу. Слово РАЗНЫЙ имеет несколько значений:
1) Непохожий, отличающийся от другого (например, «разные носки»).
2) Другой, иной, не тот же самый (например, «жить в разных городах», «ехать в разных вагонах»).
3) Разнообразный, состоящий из неоднородных частей (например, «букет из разных цветов»).
А слово РАЗЛИЧНЫЙ означает:
1) Несходный, содержащий различия, расхождения (например, «переживать различные чувства»).
2) Всякий, всевозможный, разнообразный (например, «различные способы лечения»).
Эти слова могут использоваться с одними и теми же существительными, но придают им разные оттенки смысла. Сравни: «Существуют различные (разнообразные, всевозможные) мнения о том, стоит ли есть пирожные на завтрак» и «У нас с мамой совершенно разные (несхожие, отличающиеся) мнения о том, стоит ли есть пирожные на завтрак».
Рассмотрим примеры Тани Лариной. Выделим исправленные ошибки.
А) «Мы с моей бабушкой живём в РАЗНЫХ городах: она в Москве, а я в Самаре».
Слово РАЗЛИЧНЫХ здесь употреблено неверно, ведь имеется в виду, что у бабушки один город проживания, а у меня другой. Можно сказать и так: «Мы с моей бабушкой живём в РАЗЛИЧНЫХ городах», но тогда это будет означать, что мы с бабушкой живём вместе и вместе переезжаем из города в город.
Б) «У нас с ней РАЗНЫЕ характеры».
Слово РАЗЛИЧНЫЕ здесь употреблено неверно, потому что в данном случае имеется в виду, что у нас РАЗНЫЕ, то есть НЕПОХОЖИЕ, ОТЛИЧАЮЩИЕСЯ характеры.
В) «Мы любим РАЗНЫЕ книги: бабушка обожает детективы, а я предпочитаю фэнтези».
Верно. Здесь РАЗНЫЕ означает НЕПОХОЖИЕ, ОТЛИЧАЮЩИЕСЯ.
Г) «Бабушке нравится, когда я в школу надеваю РАЗНЫЕ носки, прямо как Пеппи Длинныйчулок!»
Верно. Здесь РАЗНЫЕ означает НЕПОХОЖИЕ, ОТЛИЧАЮЩИЕСЯ.